Mal, muy mal

Son como las 3 y media de la mañana. A las 9:30 tengo un examen -de geometría diferencial. El examen no estará muy difícil, por lo visto.
Sin embargo no escribo esta entrada por el examen, sino porque cuando uno no ha dormido bien, y tiene sueño, tiene sus "defensas mentales" bajas. Es en estos momentos donde -en mi experiencia- la genialidad, la irracionalidad, la estupidez y el cinismo afloran; y en algunos casos afloran todos a la vez.
En este caso, me temo, la genialidad no se presentó *risas*. Me pregunto qué hago despierto todavía, aunque tengo sueño, sé que debo dormir y me estoy enfermando de gripa.
Mientras lo descubro, me doy cuenta que mi afición por los juegos de computadora es mucha. Demasiada, tal vez. No al grado de dejar de comer por ellos, claro, pero sí como para pensar en polígonos todo el día. Afortunadamente -o desafortunadamente- lo hago con un enfoque matemático y no simplemente me pongo a pensar "+ polz is t3h shizzle", o algo así.
Hmmm... quizá... no, mejor lo dejo para después.
Repasemos un poco de geometría, para que valga la pena el desvelo: Hmmm... er... el aparato de Frenet consiste en tres vectores y dos funciones... no, más bien son tres campos vectoriales: T, N y B, además de dos funciones: k y t (curvatura y torción, respectivamente). T viene a ser la dirección de la velocidad de la curva, N es la dirección del radio de curvatura, y B es el binormal, que no sirve para nada *risas*. Ahora, la curvatura viene a ser una cuantificación de... pues... la curvatura de una curva -es decir, mientras mayor es k, más... cerrada es la curva que describe la curva (WTF?!). Por último, t representa algo así como la curvatura pero "para arriba" de la curva.
Para tenerlo más claro, imaginen un círculo. Ahora imaginen un punto en el centro del círculo. Ahora imaginen que me río de ustedes por esta mala broma :P. Ahora imaginen un resorte. Espero que no les sea difícil ver que el resorte, o una sección de éste para simplificar, es como el círculo, nomás que estirado. O, si les gusta más, que el círculo es un resorte muuuy aplastado. Si no pudieron ver nada de lo anterior, olvídenlo y sigan leyendo. Cabe recalcar que esto del aparato de Frenet vale para curvas de rapidez 1 (es decir que la magnitud de la primera derivada de la curva vale 1).
¿Qué pasa cuando tengamos una curva de rapidez arbitraria? Muy fácil, hallamos una reparametrización de la curva tal que ésta sí tenga rapidez 1. ¡Es divertido! *risas*
O sea que si la curva es a(x), entonces consideramos la reparametrización b(x) = a(y(x)) (¿o era al revés? Ahorita lo checo), donde y es igual a la-integral-de-la-magnitud-de-la-derivada-de-la-curva-sobre-un-intervalo-dado *¡uf!*.
Bueno, acabo de checar el apunte y es al revés: b(y)=a, es decir, b(y(x))=a(x)
¿Qué más se puede decir? Veamos... ah, claro, expresar las derivadas de los tres vectores estos en función de ellos mismos, primero para curvas de rapidez 1. A ver, T' claramente es ortogonal a T, así que no puede ser función de T. Ah, qué güey soy: si N=(1/k)T', entonces kN=T'. Ahora vamos con N'. Hmmm... mmmmm... mjm... ya, N' es... a ver, momento... ya: N'= -kT+tB.
Y por último B' claramente es igual a -tN.
Para curvas de rapidez arbitraria nomás le pegamos una v a todo eso y listo.
Lo único que no me queda muy claro es eso del plano osculatorio... si viene un problema de eso ya valí chochos.
Futa, todavía falta eso de que T=a'/a', N=B x T, y demás... vamos a chutárnoslo.
a(t)=_a(s(t))... así que B=_B(s), así que B=(_a(s) x _a(s)) / _a(s) x _a(s)=(a x a) / a x a.
Lo demás me imagino que sale igual, así que ahí la dejo.
Creo que ora sí fue todo.
Bueno, ya me voy a echar un pestañazo, espero despertar sin problemas, no sé qué voy a hacer si no llego a ese examen.