Vectores (los vectores contraatacan)

Pongo las ligas para las entradas anteriores:
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Después de haber definido lo que es un campo, y de paso haber entendido bien lo que son operaciones binarias sobre un conjunto, estamos listos para definir lo que es un espacio vectorial.

Prepárense, esto va a estar bueno.

Primero les recordaré lo que es el producto cartesiano de dos conjuntos: si tenemos dos conjuntos A y B, el conjunto AxB (la x es de multiplicación, no de "equis") es llamado el producto cartesiano de A y B, y es el conjunto de parejas de elementos tales que el primer elemento de la pareja es un elemento de A y el segundo es de B.

Por ejemplo, si A={1,2,3} y B = {a,b,c} entonces AxB consiste de las parejas tales que el primer elemento de la pareja es un número del 1 al 3 y el segundo es una letra de la a a la c, tons

AxB = { (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c) }.

El orden de los conjuntos a la hora de hacer el producto cartesiano es importante: no es lo mismo en general AxB que BxA. Una pregunta interesante es: ¿cuándo AxB = BxA como conjuntos?

Aprovechando nuestra habilidad desarrollada en matemáticas, vamos a definir lo que es una operación binaria de manera más general:

Si tenemos tres conjuntos, llamémosles A, B y C, podemos definir una operación (binaria) con operandos A y B y resultado en C; esto quiere decir que agarramos un elemento en A, un elemento en B y a estos dos elementos les asociamos un único elemento en C.

Esto en matemáticas quiere decir que tenemos una función del conjunto AxB a el conjunto C, y con símbolos ponemos:

f: AxB -> C,

y escribimos f(a,b) = c para decir que a la pareja de elementos (a,b) les toca únicamente el elemento c de C. Si A = B = C, entonces decimos que f es una operación en A.

Es útil notar, pues esta definición de operación en general está algo esotérica, que las operaciones que ya vimos en las entradas anteriores satisfacen esta definición: por ejemplo, la suma es una operación en los naturales (N ). Se puede escribir como

+ : NxN -> N,

y está dada como +(a,b) = a+b. Nomás sustituí la A, la B y la C por N, la f por +, y c por a+b.

¿Y para qué tanto rollo, si estábamos tan felices con las operaciones como las habíamos visto antes?

Buena pregunta. Para responderla es necesario observar que antes las operaciones operaban (ja) sobre elementos de un mismo conjunto, y eso las limitaba un poco. Por ejemplo, sólo podíamos multiplicar reales con reales, y así. Pero ¿qué tal si yo quisiera multiplicar un número real con, digamos, un perro?

Ése es el poder de la nueva definición de operaciones.

Curiosamente, vamos a ver que en realidad todo el meollo del asunto con los espacios vectoriales, al menos a este nivel, se reduce a que ciertos conjuntos admitan ciertas operaciones.

Ahora sí, ¿listos? Si no han leído las entradas anteriores y no saben ni qué onda con su vida sugiero que se regresen, porque va la def. de un espacio vectorial (y va a estar choncha):

Un espacio vectorial es una cuádrupla (V,K,+,*) donde V es un conjunto, K es un campo, + es una operación en V asociativa, conmutativa, con inversos e identidad (denotada por 0) y * es una operación *: KxV -> V tal que se satisface:

• 1*v = v para todo elemento v en V (1 es la identidad de la multiplicación en K).
• k*(v+w) = k*v+k*w para todos k en K; v,w en V.
• (k+l)*v = k*v + k*l para todos k,l en K; v en V.
• (kl)*v = k*(l*v) para todos k,l en K; v en V.

El nombre completo de un espacio vectorial entonces necesita a todos los elementos de la cuádrupla (y eso que el campo en sí era una terna). Usualmente se dice "V es un espacio vectorial sobre K", nada más, cuando se da por entendido todo lo demás.

Los elementos de V son llamados "vectores", la operación + en V es llamada "suma de vectores", y su identidad (que se escribe 0, al igual que la identidad aditiva de K, aunque son completamente diferentes en general) es llamada el vector cero. Los elementos de K usualmente son llamados los "escalares" y la operación * es llamado el "producto escalar".

Con esta definición se pueden hacer un montoooón de observaciones, pero primero veremos algunos ejemplos:

Si tenemos un campo K, podemos tomar en particular a V=K. Esto hace que K sea un espacio vectorial sobre sí mismo, pues el producto por escalar en este caso coincide con el producto que ya tenía K, y esa operación satisface las 4 propiedades esas que puse.

Podemos sacarle más jugo a K haciendo lo siguiente: consideramos KxK. En KxK podemos definir una suma de la manera siguiente:

Si tenemos (k1,k2) y (l1,l2) a estos dos simplemente los mandamos a (k1+l1,k2+l2). Es decir, definimos (k1,k2) + (l1,l2) = (k1+l1,k2+l2). Esta operación es conmutativa, asociativa, tiene identidad (¿cuál es?) y todos los elementos de KxK tienen inversos respecto a ella.

Además podemos definir un producto escalar de la manera siguiente:

k1*(l1,l2) = (k1l1,k1l2) (recuerden que el producto del campo lo denoto por yuxtaposición). Esta operación satisface tooodo lo que debería satisfacer un producto escalar.

Por lo tanto KxK es un espacio vectorial sobre K.

De hecho, se puede ver que KxKxK (que son ternas de elementos en K) también es espacio vectorial sobre K.

En general tenemos que K^n = Kx...xK (K, pero n veces) es también espacio vectorial.

Estos son los ejemplos de cajón que se tiene que saber todo el mundo, pero siguen siendo muy generales. Particularizando un poco más, y recordando que los números reales forman un campo, R, tenemos que RxR es un espacio vectorial sobre R (cuando se tiene un espacio vectorial sobre R usualmente se dice que es un espacio vectorial real). RxR se conoce usualmente como el "plano cartesiano", pues en dibujito se ve como un plano, y sus elementos se pueden representar como flechitas y todas esas ondas cursis que les gustan a los físicos y a los ingenieros :-P

Notemos que, aunque los conjuntos sean los mismos, si las operaciones son distintas los espacios vectoriales son dis-tin-tos. Y sí, sí se puede que los conjuntos sean iguales pero que las operaciones no lo sean.

Bueno, ya no entra en esta entrada, así que para la otra pongo ya observaciones rudas sobre este asunto de las operaciones. Como adelanto pondré que tienen otros nombres, uno de ellos es "acciones". Estas acciones están en TODOS lados, no nada más con los espacios vectoriales. Y está muy intenso ver las conexiones que hay entre diversas ramas de las mates. Veré qué tanto puedo escribir sobre ellas.