Vectores (una nueva esperanza)

Como más vale tarde que nunca, esto es la continuación de aquella entrada en la que platicaba un poquitín sobre campos y operaciones y eso. Si no la han leído, sugiero que la lean pa' ponernos de acuerdo todos en terminología.

Ahora estamos un poco mejor preparados para decir qué es un campo.

Un campo es básicamente darle estructura algebraica a un conjunto (recordemos que un conjunto nomás es como una bolsa con cosas). Con estructura algebraica me refiero a darle la estructura necesaria para, en términos llanos, multiplicar y sumar elementos de dicho conjunto.

Hay conjuntos, como los naturales, en los que se puede hablar de suma Y multiplicación, pero que aún así no tienen suficientes elementos como para estar chidos :P

Tons antes de por fin definir qué es un p****e campo, vamos a hablar un poco del concepto de "inverso" respecto a alguna operación.

Si tenemos una operación binaria (asociativa y conmutativa) se puede hablar de un "elemento neutro" o "identidad". Esta identidad tiene la propiedad siguiente: cuando operan cualquier cosa con la identidad, vuelve a dar la misma cosa. Por ejemplo, para la suma en los números reales la identidad de la suma es el 0, pues

0 + x = x, para cualquier número x real.

Para la multiplicación también se tiene una identidad, que es el número 1 (pues 1x= x para toda x real).

Ahora, teniendo este asunto de la identidad podemos hablar de "inversos". ¿Han leído alguna vez eso de que la materia y la antimateria cuando se tocan se despanzurran y se vuelven rayos gama y no sé qué tanto? Bueno, pues un elemento x en un conjunto con alguna operación binaria con identidad (respecto a esa operación) tiene inverso (respecto a la misma operación) si existe un elemento y tal que x operado con y es igual a dicha identidad.

Por ejemplo, cuando se tiene un número real x resulta que existe otro número real, convenientemente denotado por -x, tal que

x + (-x) = 0

Y si tomamos a x número real distinto de 0, existe otro real, denotado por x^(-1) tal que

xx^(-1) = 1

Una pregunta muuuy interesante es ¿por qué le pedimos a x que sea distinto de 0 para garantizar la existencia del inverso respecto a la multiplicación?

Bueno, tons ahora sí por fin estamos listos (¡de a deveras!) para definir lo que es un campo:

Un campo es una terna (K,+,.) donde K es un conjunto; + es una operación binaria asociativa y conmutativa con identidad 0 definida en el conjunto K para la que existen siempre inversos (ufff); . es una operación binaria asociativa y conmutativa con identidad 1 definida en K para la que existen inversos para todos los elementos distintos de 0; y que además satisface la siguiente relación:

a(b+c)=ab+ac, para cualesquiera a,b,c en K.

Y listo, eso es un campo. Noten que las condiciones para la + y . son prácticamente las mismas, sólo que no le pedimos que exista un inverso respecto a . para el 0.

Esta última relación, como casi todas las cosas en matemáticas, también tiene nombre, a los matemáticos les gusta llamarle "propiedad distributiva" o "distributividad". Pero, como se ve en la ecuacioncilla, la idea es que ambas operaciones se llevan chido.
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Ejemplos de campos: los números reales (con la suma y mult. usual) y los números racionales. Lamentablemente (o afortunadamente) ni los enteros ni los naturales, nuestros conocidos de la infancia, son campos. Pero qué le hace uno. Otro ejemplo muy importante es un (¿el?) conjunto que sólo tiene un elemento. Si sólo hay un elemento, podemos hacer dos operaciones binarias que cumplan las propiedades estas y resulta que es un campo. Este campo no tiene mucho chiste así que se le llama "campo trivial", o "campo cero". De hecho tiene tan poco chiste que mucha gente refuerza la definición de campo y PIDE que 1 sea distinto de 0 para que se tenga un campo (de acuerdo a esta definición no habría este "campo trivial"... pero eso al final no importa pues los campos que se manejan siempre tienen más de un elemento). Tons hagan de cuenta que no puse ese ejemplo :P: a partir de ahora pediré yo también que 1 no sea 0.

Quiero hacer notar que, aparte de hacer observaciones chiquitas por aquí y por allá, lo único que hemos hecho es ponerle nombres y ponerle nombres a cosas. Bien pude haber puesto la definición de campo de una manera muy, muy extensa; pero viendo primero qué es una operación y qué es conmutativo y etc. pudimos dar una definición muy concreta de campo, bajo la suposición de que se entiendan las definiciones anteriores.

Ahora, respecto a la pregunta de por qué no le pedimos a 0 que tenga inverso respecto a la multiplicación en los reales:

¿Qué es lo que cumple el 0? De las condiciones de campo para los números reales, satisface que 0 + x = x para cualquier x, y además que para cualquier x existe -x tal que x + (-x) = 0.

Curiosamente, gracias a la propiedad distributiva, se puede ver que 0.x = 0, para toda x que sea número real. ¿Será posible ver esto sin usar la propiedad distributiva? (ja, esta pregunta es buena para hacer sufrir a la gente :P)

Como 0.x = 0 sin importar quién sea x, si 0 tuviera inverso respecto a la multiplicación en los reales -llamémosle z al supuesto inverso-, debería cumplirse que

0.z = 1,

pues eso es lo que hacen los inversos respecto a la multiplicación. Pero, la condición también pide que z sea un número real, y acabamos de ver que

0.z = 0,

y, en los números reales sabemos que 0 no es 1, y esta contradicción nos dice que 0 no puede tener inverso respecto a la multiplicación en los números reales.

Pos bueno, fue divertido esto. Ya luego le seguimos ahora sí con la definición de espacio vectorial.

Ejercicio interesante: los racionales forman un campo (vamos a creer esto) con exactamente las mismas operaciones e idenntidades que las del campo de los números reales. En este caso se dice que son un "subcampo" del campo de los números reales. Surge la pregunta: ¿hay otros subcampos en los reales que no sean el campo de los números racionales? En particular, ¿hay subcampos de los reales que sean más pequeños que el campo de los números racionales?