Vectores (preliminares)

Nota: Originalmente esta iba a ser una monstruo-entrada, pero he decidido mejor partirla en cachos.

Uffff esta entrada será la más ñoña que ha habido en este blog por algún tiempo. Si no saben de mates no se espanten, haré mi mejor esfuerzo porque al menos se rían :P... y, bueno, ojalá y no sea tan incomprensible el cómo trato de explicar las cosas :P

Vamos a poner rapidín más o menos qué es un campo, y qué es un espacio vectorial, y de ahí vamos a alocarnos :P (como puse en la nota, mejor partí esto y en esta nomás se llegará hasta preliminares para definir un campo).

Pero incluso antes de eso vamos a mencionar que un "conjunto" es... algo que usaremos libremente basándonos en la idea intuitiva de que es como una bolsa con (o sin) cosas adentro. Por ejemplo, una bolsa con cinco perros lo podemos ver como un conjunto de cinco perros. Una bolsa vacía es un "conjunto vacío". A un perro, en el caso anterior, le llamamos un "elemento" del conjunto.

Ahora, dado un conjunto, podemos definir una operación en él, y una operación es simplemente agarrar dos elementos del conjunto (en orden, uno primero y otro después), y agarrar un tercero en base a los dos que se escogieron primero, y al orden que fueron escogidos. Los nombres oficiales son "operandos" para los primeros dos, y el tercero es el "resultado" de la operación. Lamentablemente las operaciones que nos interesan necesitan unas pequeñas reglas, que no son tan fáciles de poner con perros, así que vamos a comenzar a poner letras y cosas un poquitín más matemáticas.

Decimos que una operación es conmutativa si el resultado es el mismo si se cambia el orden de los operandos (p.ej. "el orden de los factores no altera el producto").

Por otro lado, notemos que si ya agarramos dos elementos y los operamos, nada nos impide agarrar un tercero y operarlo con el resultado de la operación anterior. Pero eso no quiere decir que hacerlo de dos maneras distintas de como resultado cosas iguales. Por ejemplo, uno puede poner una rebanada de pan en un plato, luego una rebanada de jamón, luego otra rebanada de pan y eso sería más o menos un sandwich (algo simple :P); pero si uno pone la rebanada de pan, luego la otra rebanada de pan, y luego la rebanada de jamón como que ya no va a quedar muy comestible el asunto :P
Así que decimos que una operación es asociativa si, en efecto, sin importar cómo le hagamos para operar tres elementos distintos (pero fijos), siempre da lo mismo.

Veamos un ejemplo familiar para todos:

Los números 1,2,3,4,... están metidos en un conjunto que a la gente le gusta llamar "el conjunto de los números naturales". En este conjunto podemos definir una operación también muy familiar para todos: la suma.

Notemos que la suma es conmutativa y asociativa, y en símbolos lo podemos poner así: Si a, b y c son números naturales entonces

a + b = b + a

y

(a + b) + c = a + (b + c)

(increíble que eché todo el rollazo anterior para poner algo como estos dos renglones).

Además de la suma podemos definir otra operación muy familiar: la multiplicación (o producto).

La multiplicación en los números naturales también es asociativa y multiplicativa, y lo podemos poner así:
Si a,b y c son números naturales, entonces

ab = ba

y

(ab)c = a(bc)


Pero aparte hay un conjunto más grande que este, que se llama "el conjunto de los números enteros", y que es el conjunto de los números negativos, el cero, y los naturales. Hasta aquí no hay nada mágico exactamente. Todo el mundo tiene una buena idea de qué es un número negativo: basta recordar eso de la recta numérica e irse hacia la izquierda del cero de uno en uno.

El siguiente salto es un poco más loco, pero igual debería ser familiar para casi todos: los números racionales. El conjunto de los números racionales es simplemente el conjunto de todas las fracciones que se pueden hacer con números enteros sobre números naturales.

Hasta aquí todo ha sido bastante "normal". Además, tiene la ventaja de que las operaciones de suma y multiplicación originalmente definidas solamente para los naturales se extienden de manera sencilla hasta los números racionales.

La bronca viene cuando consideramos los números irracionales. ¿Qué es un número irracional? Un número irracional es, ja, un número que no es racional :P. ¿Existen siquiera números como estos? Pues... deberían, jajaja, porque tenemos ejemplos como el del siguiente párrafo.

Cuando uno dibuja un cuadro de lado uno (en centímetros, si se quiere, y suponiendo que la línea fuese infinitamente delgada) , y traza la diagonal de éste, la diagonal debe medir algún número de centímetros ¿no?
Pues sí, por el teorema de Pitágoras, debería medir raíz cuadrada de 2 centímetros. Y la cosa curiosa es que raíz de 2 NO es un número racional.

Lamentablemente la manera de construir los irracionales a partir de lo que ya tenemos es un poco más trabajosa (pero para nada menos interesante), y si de por sí estas entradas ya están enormes, se van a poner "más pior". Así que daremos por hecho que ya tenemos tooodos los números que se nos pudieran ocurrir para medir cosas y les vamos a llamar el conjunto de los números reales. Con esto ya puesto, tenemos que los números reales son simplemente los números racionales y los números irracionales. Y ya.

Tonnss resulta que la suma y la multiplicación están también definidas para los números reales, y que ambas son asociativas y conmutativas. Y con esto podemos por fin definir lo que es un campo en general... pero eso ya será en otra entrada, porque esta ya está muy choncha :P