Conteo

Uy, eso de decidir fechas siempre me ha costado mucho trabajo. Me refiero a responder preguntas del tipo: "¿Qué fecha es en tres días?".

Siempre comienzo pensando en la fecha del día en el que estamos y sumándole, digamos, tres (módulo 28,29,30 o 31 dependiendo del mes); pero inmediatamente después comienzo a dudar: "¿debí contar también el día actual y sumar dos nada más?".

Prácticamente en todos los casos en los que me preguntan mi primer razonamiento es el que da la respuesta que mi interlocutor buscaba, pero invariablemente titubeo y a veces mejor pregunto sobre mi duda. Soy así desde chico y no se me quita, aunque entreno con More Brain Training del doctor Kawashima :P

Lo que me lleva a esto de los números naturales. Los números naturales son los números que nos sirven para contar: empiezan del uno (algunos argumentan que del cero, pero la mayor parte de las personas que conozco -y me atrevo a decir que del mundo- empiezan a contar de uno así que voy a tomar el uno como el primero), de ahí le sigue el dos, luego el tres y así.

Cuando sumamos dos números (naturales), lo que hacemos normalmente es escoger uno primero y sumarle el otro. Puede sonarles estúpido, pero pues es la verdad. Lo pongo de esta manera porque en realidad al número ese que escogimos como el primero nomás le agregamos tantas veces como el segundo uno. Es decir que primero le sumo un uno al número original, de ahí a ese resultado le sumo oootro uno, de ahí a ese resultado oooootro uno y así nos la llevamos hasta terminar. Vamos a poner un ejemplo pa' que se vea qué quiero decir con esto:

Consideremos 5+3. Voy a escoger al 5 como el primer número, y le voy a sumar tantas veces como el segundo (o sea 3 en este caso) uno:
5+3 = 5+1+1+1 = 6+1+1 = 7+1 = 8.

La multiplicación (de naturales) también se puede poner en términos de sumar unos un montononal de veces.

Esto es una soberana guangada ¿no? Digo, eso nomás lo hace un niño de kinder con sus deditos y ahí sufriendo, pero nosotros que ya estamos grandes no necesitamos esas chivas ¿no?

Pues sí, sí las necesitamos, si nos interesa saber qué hay detrás de todo esto. Eso de ahí arriba lo puse para que vean la potencia que tiene sumar un uno. De manera un poco más payasona, en matemáticas a eso de la suma más uno a un número le llaman el sucesor de cualquier número dado (¡no mamen!). Y luego dicen que las matemáticas son difíciles :P

Hace muuuucho tiempo, en un lugar de Italia, nació un señor que de apellido Peano (no nació siendo señor, obviamente; no hay que ser), que un día tuvo la idea de dar unas reglitas que lograran capturar la esencia de estos famosos números naturales.
Estas reglas que dió ese señor (que yo me sé) son las de

- relación de equivalencia
- cerradura de dicha relación
- que no hay naturales antes del uno ( o sea que el uno no es sucesor de ningún natural)
- que si n es natural, entonces su sucesor también es natural
- si dos naturales tienen por sucesor al mismo número, entonces son el mismo natural
- (en este puede haber quejas) si un conjunto tiene al uno, y se satisface que si un natural está en el conjunto eso implica que esté en este conjunto su sucesor también, entonces el conjunto en cuestión contiene a los números naturales (principio, teorema -o axioma a veces- de inducción).

(Aquí no van a tener identidad aditiva porque no le puse el cero, pero de todas maneras las operaciones jalan poniéndolas como sumas de unos, según yo).

Me da risa que cuando le platico a alguien sobre estas reglas luego se me quedan viendo con cara de "no manches, ¡pero si eso es obvio! ¿Por qué pierden el tiempo con eso?". La cosa es que la mayor parte de la teoría (sobre números, al menos, pero hay más aplicaciones a lógica y cuanta cosa), parte de esas reglitas (la última es axioma en algunos sistemas). Y de esas reglas pues ya salen muchas cosas muuuuy interesantes.

Como algo curioso, vamos a ver eso del principio de inducción.

Seguramente han escuchado esa expresión "una no es ninguna" refiriéndose normalmente a restarle importancia a la cantidad de cervezas o copas o lo que sea que uno haya consumido para seguirle dando. Desde chico me causó mucha curiosidad porque al final siempre podía concluir que cualquier cantidad de cervezas era ninguna. Chequen.

Este ejemplo (bastante tonto porque 1 ciertamente es distinto de 0 normalmente) sirve para no subestimar la importancia de verificar el caso inicial y poner cuidado cuando uno anda de valiente usando inducción:

Como nos brincamos el caso uno (es decir 1=0... démoslo por cierto por flojos, o por borrachos), entonces veamos que si se cumple para n (o sea que n=0), entonces se cumple para n+1; en efecto, pues n+1=0+1=1=0. Por lo tanto hemos "probado" que cualquier número natural es cero.

En palabras esto sería similar a razonar "una no es ninguna, dos es una mas una, o sea una mas ninguna, o sea una, o sea ninguna... o sea que dos no es ninguna, pues" (estoy obviando eso de la doble negación en el lenguaje, no se me pongan muy mamones).

Ya estuvo suave de ñoñadas por hoy. Tengo que seguir con mi tarea de álgebra.