Si y sólo si

Ya hay varias cosas de las que se suponía que iba a escribir, pero que voy en orden. Primero quiero hacer notar mi "maravillamiento" (ja) por esas implicaciones en ambas direcciones que se dan en las matemáticas.

Hay unas que no tienen chiste (y en un sentido muuuuy perverso ninguna tiene chiste). Lo que se me hace bastante curioso es cuando vas en una dirección y en la prueba aparece que en realidad lo que tienes es un caso particular de la otra proposición.

...

A ver, quizá conviene que primero explique a qué me refiero con esto de si y sólo si.

La parte del "si" creo yo que habla por sí misma: Si tal cosa pasa, entonces esta otra cosa pasa. Es ese "si" al que todos estamos acostumbrados en la vida diaria (si bien no necesariamente lo notamos).

La parte del "sólo si" es la parte recíproca al "si". Es decir, es un "si", pero ahora al revés.

Como que eso no quedó muy claro. Voy a ponerle letras y si ya no se entiende así pues ni modo, tendrán que ir a la wikipedia o algo. Agarramos "A si y sólo si B".

Tenemos el "si":
A si B, o sea Si B entonces A.

Este ya había quedado claro. Ahora tenemos el "sólo si":
A sólo si B. Es decir, "si no B, entonces no A", por lo tanto tenemos "si A entonces B", que era la implicación en el otro sentido que queríamos (siempre me confundo con esto de los "si" :P). Piénsenle tantito y sale.

Bueno, entonces como que esto nos dice que A y B como que son lo mismo (¡pero no necesariamente lo son!), más bien nos dice que van de la mano. Si ya tienes a A, ya tienes automáticamente a B, y viceversa. En matemáticas esto puede servir para caracterizar objetos con varias definiciones equivalentes, cada una adecuada para contextos distintos. También puede servir para facilitar demostraciones agarrando otro camino si el actual nos la está haciendo de tos.

Y esto tiene que ver con lo que me asombra de estas cosas: ¿Cómo es posible que dos proposiciones que se relacionan de una manera tan íntima formen parte de dos caminos que -al menos en apariencia- son tan diferentes (en dificultad)?

La cosa es que hay veces en las que uno quiere probar un "si y sólo si", y resulta que hay una dirección que es trivial, y otra que cuesta uno y la mitad del otro (!!!). Los que he visto hasta ahora es porque la estructura por un lado es más rica (o sea que muchas veces el otro lado es un caso particular del primer lado, o se sigue fácilmente) que la otra. La dirección inversa es, entonces, andar ahí moviéndole y moviéndole a esas chivas. Incluso en geometría, que yo esperaba que no se tuviera tanto eso, se dan estas disparidades en dificultad.

Qué locochón.